Закончил 2-ой МОЛГМИ им. Н.И.Пирогова по специальности «лечебное дело». С 1976 по 1979 год работал хирургом в поликлинике № 75 г. Москвы. С 1979 по 1984 год работал врачом, младшим научным сотрудником эндоскопического отделения Всесоюзного онкологического научного центра АМН СССР. В 1984 году защитил кандидатскую диссертацию на тему: «Фиброколоноскопия и контактная радиометрия в диагностике заболеваний толстой кишки у больных, оперированных по поводу рака».
С 1984 года работает в НИИ проктологии МЗ РСФСР старшим научным сотрудником, а с 1989 года – заведующим отделения эндоскопической диагностики и хирургии. С 2015 года по настоящее время – руководитель отдела эндоскопической диагностики и хирургии ФГБУ «ГНЦ колопроктологии им. А.Н.Рыжих» МЗ РФ.
В 1997 году защитил докторскую диссертацию на тему: «Эндоскопическое лечение больных с большими и гигантскими аденомами толстой кишки».
В 2002 году присвоено ученое звание профессора по специальности «хирургия».
В.В.Веселов активно занимается научной работой, автор 168 печатных работ, имеет 5 авторских свидетельств и патентов на изобретения. Является соавтором 4 монографий. Соавтор национальных клинических рекомендаций по диагностике и лечению колопроктологических заболеваний. Под его руководством успешно защищены 1 докторская и 6 кандидатских диссертаций.